Wortal Stefana Banacha

Spis treści [PDF] 

Druk niniejszej książki profesora Banacha był rozpoczęty przed wojną. Miała ona stanowić dwutomowe dzieło utrzymane na wysokim poziomie naukowym, a zarazem mogące służyć za nowoczesny podręcznik teorii funkcji zmiennej rzeczywistej dla studentów matematyki. Pierwszych 10 arkuszy znajdowało się już w korektach, gdy rozpoczęła się druga wojna światowa. Hitlerowiec W. Haude, który z ramienia wojsk okupacyjnych zarządzał Drukarnią Uniwersytetu Jagiellońskiego w latach okupacji Krakowa, rozkazał skład rozebrać, rękopisy zniszczyć i korekty spalić. Poświęceniu i odwadze pracowników tej najstarszej w Polsce drukarni naukowej, której chlubne tradycje w służbie nauki naszej sięgają XVII w., zawdzięczać należy, że w drukarni tej została potajemnie przechowana część składu wspomnianych arkuszy, zwłaszcza zaś lwia część odbić korektowych, specjalnie sporządzonych i ukrytych. Cały rękopis tych arkuszy, jak i dalszego ciągu dzieła, uległ niestety straceniu. Śmierć profesora Banacha 31 sierpnia 1945 r. uniemożliwiła rekonstrukcję jego dzieła przez niego samego. Na prośbę Komitetu Redakcyjnego "Monografii Matematycznych" uczniowie zmarłego, profesor Władysław Orlicz i docent Andrzej Alexiewicz, podjęli się uzupełnienia brakujących części tych rozdziałów, których fragmenty ocalały. Znali oni intencje autora z wielu rozmów, które prowadził on z kolegami i uczniami o zamierzonej książce. Pierwszy jej tom miał zawierać wstęp do teorii funkcji zmiennej rzeczywistej, a w drugim miała być wyłożona sama teoria. Ten drugi tom miał zawierać m. in. rozdziały o mierze i całce Lebesgue'a, o całkach krzywoliniowych i powierzchniowych Lebesgue'a wraz z dowodami twierdzeń Greena, Gaussa i Stokesa - rzeczy, które w żadnym podręczniku nie były dotąd systematycznie i ściśle wyłożone. Niestety, tomu tego odtworzyć już się nie da wobec doszczętnej utraty rękopisu. Dlatego Komitet Redakcyjny postanowił wydać jedynie ocalałą część tomu pierwszego, z takimi uzupełnieniami, by możliwie stanowiła ona zamkniętą całość. Studenci matematyki na wyższych latach studiów znajdą w niej rozszerzenie i pogłębienie niektórych działów analizy matematycznej, znanych im już z wykładów rachunku różniczkowego i całkowego. Będzie ona też dla nich przygotowaniem do samodzielnej lektury większych dzieł z teorii funkcji i łączących się z nią działów analizy, jak teoria równań całkowych, teoria szeregów trygonometrycznych, teoria szeregów ortogonalnych, analiza funkcyjna, topologia przestrzeni euklidesowych. Zgodnie z tym w niniejszej książce jest mowa o tak podstawowych pojęciach, jak granica górna i dolna, zbieżność jednostajna i całka Riemanna, lecz ujętych i potraktowanych znacznie ściślej i obszerniej niż to się zazwyczaj robi w podręcznikach analizy. Zarazem, aby wprowadzić czytelnika w krąg metod i idei wyższych działów analizy, uzupełniono ten kurs wiadomościami z teorii miary Jordana, zwykle pomijanej w podręcznikach, jako też wiadomościami o przybliżaniu funkcji ciągłych i o przedłużaniu tych funkcji. Wprowadzeniem zaś w teorię funkcji zmiennej rzeczywistej są początkowe rozdziały, traktujące o symbolice logicznej i rachunku logicznym, bodajże pierwszy raz i - miejmy nadzieję - na stałe wprowadzone odtąd do literatury podręcznikowej, a dalej: o teorii mocy zbiorów, o zbiorach punktowych w przestrzeniach m-wymiarowych, o funkcjach Baire'a i o krzywych ciągłych.

Do zrozumienia tej książki wystarcza znajomość uniwersyteckiego kursu rachunku różniczkowego.

Uzupełnienia pióra Orlicza i Alexiewicza obejmują fragmenty dotyczące przestrzeni w-wymiarowej (str. 73-103), funkcji ciągłych (str. 104-114 i 119-122), zbieżności ciągów funkcyjnych (str. 127-130), funkcji Baire'a (str. 144-150) oraz o krzywych ciągłych (str. 155-161); reszta książki, to przedruk zachowanych korekt z bardzo nieznacznymi zmianami.

W uzupełnieniu i wydaniu tej książki cenną pomoc okazali Czesław Ryll-Nardzewski i Marceli Stark.

Wrocław, w lutym 1950 roku.

Komitet Redakcyjny

l. Aksjomaty i definicje.
2. Zbiory liniowe.
3. Liczby nieskończone.

§ l. Algebra zbiorów ... 4
l. Działania na zbiorach.
2. Działania nieskończone.
3. Znakowanie logiczne.
4. Produkt zbiorów. Funkcje zdaniowe wielu zmiennych.
5. Interpretacja geometryczna kwantora.
§ 2. Odwzorowania zbiorów, pojęcie ciągu, produkt nieskończony zbiorów ... 14
l. Odwzorowanie (funkcja).
2. Ciąg.
3. Produkt nieskończony.
§ 3. Moce zbiorów ... 16
l. Równość mocy.
2. Moc produktu.
3. O porównywaniu mocy zbiorów.
4. Zbiory przeliczalne.
5. Zbiory mocy c (continuum).
6. Zbiory mocy f.
§ 4. Zbiory uporządkowane ... 35
l. Porządek.
2. Zbiory podobne.
3. Zbiory typu η i λ.
4. Przekrój.
§ 5. Zbiory dobrze uporządkowane. ... 37
l. Pojęcie dobrego uporządkowania.
2. Odcinki zbioru dobrze uporządkowanego.
3. Twierdzenia o podobieństwie.
4. Twierdzenie o dobrym uporządkowaniu.
5. Indukcja pozaskończona.

§ l. Przedziały ... 44
l. Przedziały skończone.
2. Przedziały nieskończone.
3. Część wspólna ciągu przedziałów.
§ 2. Kresy zbioru ... 46
l. Zbiory ograniczone.
2. Kres górny.
3. Kres dolny.
§ 3. Granice ... 47
l. Granica ciągu.
2. Warunki zbieżności.
3. Działania na ciągach.
4. Szeregi.
5. Punkt graniczny ciągu.
6. Granica górna i dolna ciągu.

§ l. Zbiory liniowe ... 67
l. Zbiory zamknięte.
2. Zbiory brzegowe, otwarte, doskonałe.
3. Gęstość.
4. Spójność.
5. Kategoria zbioru.
6. Pokrycie zbioru.
7. Odległość, odstęp, średnica.
§ 2. Zbiory w przestrzeni m-wymiarowej ... 73
l. Definicje podstawowe.
2. Przedziały.
3. Granice.
4. Otoczenie.
5. Odstęp, średnica.
6. Spójność.
7. Zbiory wypukłe.
8. Pokrycie zbioru.
9. Pewne własności ciągów zbiorów zamkniętych.
10. Struktura zbiorów zamkniętych.
11. Zbiory F_σ i G_δ.

§ 1. Funkcje ciągłe ... 104
l. Granica funkcji.
2. Ciągłość.
3. Własności funkcji ciągłych.
4. Ciągłość jednostajna.
5. Funkcje o wartościach z Eⁿ.
6. Moduł ciągłości. Warunek Höldera.
7. Przedłużanie funkcji ciągłych.
§ 2. Ciągi funkcji. Zbiory zwarte funkcji ... 122
l. Granica ciągu funkcji.
2. Zbieżność jednostajna.
3. Zbiory zwarte funkcji.
§ 3. Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami. Wielomiany Bernsteina ... 137
l. Lemat o linii łamanej.
2. Przybliżanie funkcji |x|.
3. Przybliżanie dowolnej funkcji ciągłej.
4. Wielomiany Bernsteina.
5. Funkcje 1-ej klasy Baire'a.
6. Klasyfikacja Baire'a.
§ 4. Krzywe w przestrzeniach Eⁿ ... 150
l. Definicje.
2. Krzywa Peany.
3. Krzywa ciągła wypełniająca przedział w Eⁿ.
4. Charakterystyka krzywych ciągłych.

§ l. Całka pojedyncza ... 162
l. Podział przedziału.
2. Całka Riemanna.
3. Całka sumy funkcji.
4. Sumy dolna i górna.
5. Całki górna i dolna.
6. Warunki całkowalności funkcji według Riemanna.
7. Zbiory miary Lebesgue'a 0.
8. Warunki całkowalności funkcji według Lebesgue'a.
9. Własności funkcji całkowalnych R.
10. Całka Riemanna a funkcja pierwotna.
§ 2. Całki wielokrotne ... 179
l. Podział przedziału.
2. Miara przedziału.
3. Określenie całki wielokrotnej.
4. Sumy dolne i górne.
6. Całki dolne i górne.
6. Warunki całkowalności R.
7. Zbiory miary Lebesgue'a 0.
8. Warunki Lebesgue'a całkowalności R.
9. Własności całki wielokrotnej.
10. Całka wielokrotna jako całka iterowana.
§ 3. Miara Jordana. Całka R na zbiorze ... 196
l. Miara zewnętrzna Z.
2. Miara wewnętrzna Z.
3. Własności miary Jordana.
4. Zbiory mierzalne Z.
5. Przesunięcie równoległe.
6. Całka R funkcji w zbiorze.
7. Miara Jordana jako całka.
8. Warunki całkowalności R funkcji w zbiorze.
9. Całka Riemanna jako miara Jordana.
10. Całka w zbiorze jako całka iterowana.
11. Miara (objętość) kuli w Eⁿ.

Podziękowania

Będziemy wdzięczni za wszelkie uwagi i komentarze dotyczące tej strony.