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"Théorie des opérations linéaires"
("Theory of Linear Operations")
by Stefan Banach
(Monografie Matematyczne 1, Warszawa 1932, pages VII+254) [PDF] 

TABLE DES MATIÈRES

PRÉFACE
INTRODUCTION
    A. L'intégrale de Lebesgue-Stiéltjes.
    § 1. Quelques théorémes de la théorie de l'intégrale de Lebesgue ... 1
    § 2. Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable ... 2
    § S. La convergence asymptotique ... 3
    § 4. La convergence en moyenne ... 4
    § 5. L'intégrale deStieltjes ... 4
    § 6. Le théorème de Lebesgue ... 7
    B. Ensembles et opération mesurables (B) dans les espaces métriques.
    § 7. Espaces métriques ... 8
    § 8. Ensembles dans les espaces métriques ... 12
    § 9. Opérations dans les espaces métriques ... 15
CHAPITRE I. Groupes.
    § 1. Définition des espaces du type (G) ... 20
    § 2. Propriétés des sous-groupes ... 21
    § 3. Opérations additives et linéaires ... 23
    § 4. Un théorème sur la condensation des singularités ... 24
CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux.
    § 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels ... 26
    § 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes ... 27
    § 3. Applications: généralisation des notions d'intégrale, de mesure et de limite ... 29
CHAPITRE III. Espaces du type (F).
    § 1. Définition et préliminaires ... 35
    § 2. Opérations homogènes ... 36
    § 3. Séries d'éléments. Inversion des opérations linéaires ... 37
    § 4. Fonctions continues sans dérivée ... 43
    § 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles ... 44
    § 6. Systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues ... 47
    § 7. Applications de l'espace (s) ... 50
CHAPITRE IV. Espaces normes.
    § 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B) 53
    § 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires ... 54
    § 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d'éléments .... 57
    § 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (U1')), (c), ((M), (m) et dans les sous-espaces de (m) ... 59
    § 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (Z-W), (c) et (IW). 72
    § 6, Approximation des fonctions appartenant à ((,') et (/.('")) par des combinaisons linéaires de fonctions ... 73
    § 7. Le problème des moments ... 74
    § 8. Conditions pour l'existence des solutions de certains systèmes d'équations à une infinité d'inconnues ... 76
CHAPITRE V. Espaces du type (B).
    § 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B) ... 78
    § 2. Principe de condensation des singularités ... 81
    § 3. Espaces du type (B) compacts ... 83
    § 4. Une propriété des espaces (Z.M), (c) et (/('-)) ... 84
    § 5. Espaces du type (B) formés de fonctions mesurables ... 86
    § 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaças particuliers du type (B) ... 88
    § 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation ... 90
CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées.
    § 1. Opérations totalement continues ... 96
    § 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers ... 97
    § 3. Opérations conjuguées (associées) ... 99
    § 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers ... 101
CHAPITRE VII. Suites biorthogonales.
    § 1. Définition et propriétés générales ... 106
    § 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers ... 108
    § 3. Bases dans les espaces du type (B). ... 110
    § 4. Quelques applications à la théorie des développements orthogonaux 112
CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B).
    § 1. Préliminaires ... 115
    § 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires .... 116
    § 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires .... 118
    § 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires ... 122
    § 5. Ensembles faiblement fermés de .fonctionnelles linéaires dans lés espaces du type (B) séparables ... 123
    § 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies dans les. espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p)) ... 126
    § 7. Compacticité faible d'ensembles bornés dans certains espaces ... 130
    § 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces
    des fonctionnelles linéaires ... 131
CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d'éléments.
    §1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d'éléments 133
    § 2. Convergence faible des suites d'éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p)) ... 134
    § 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(p)) et (l(p)) pour p > 1 ... 139
    § 4. Espaces faiblement complets ... 140
    § 5. Un théorème sur la convergence faible d'éléments ... 143
CHAPITRE X. Equations fonctionnelles linéaires.
    § 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles ... 145
    § 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues . 151
    § 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires . 157
    § 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues ... 159
    § 5. Equations intégrales de Fredholm ... 161
    § 6. Equations intégrales de Volterra ... 162
    § 7. Equations intégrales symétriques ... 163
CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie.
    § 1. Isométrie ... 165
    § 2. Les espaces (L2) et (l2) ... 165
    § 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normes ... 166
    § 4. Espace des fonctions réelles continues ... 168
    § 5. Rotations ... 173
    § 6. Isomorphie et équivalence ... 180
    § 7. Produits des espaces du type (B) ... 181
    § 8. Espace (C) comme l'espace universel ... 185
    § 9. Espaces conjugués ... 188
CHAPITRE XII. Dimension linéaire.
    § 1. Définitions ... 193
    § 2. Dimension linéaire des espaces (c) et l(p) où p ≥ 1 ... 194
    § 3. Dimension linéaire des espaces L(p) et l(p) où p > 1 ... 197
ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B).
    § 1. Les dérivés faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires ... 208
    § 2. Convergence faible des éléments ... 217
REMARQUES ... 226
INDEX TERMINOLOGIQUE ... 247
AUTEURS CITÉS ... 250
Acknowledgements
We deeply thank Prof. dr. hab. med. Alina Filipowicz-Banach and the whole of family of Stefan Banach for their permission to post all the works of Stefan Banach on this website. We also thank Prof. dr. hab. Stefan Jackowski, the Head of the Polish Mathematical Society, for his permission to post the books of Stefan Banach, published in the series "Monografie Matematyczne" by the Polish Mathematical Society, on this website.

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