Wortal Stefana Banacha

Wortal Stefana Banacha

Stefan Banach: Rachunek różniczkowy i całkowy
tom I wyd. Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Lwów, 1929, s. 294 [PDF] 
tom II wyd. Książnica-Atlas, Lwów, 1930, s. 248 [PDF] 

Przedmowa

Książka niniejsza przeznaczona jest do wstępnego studium rachunku różniczkowego i całkowego. Po przeczytaniu jej czytelnik może z korzyścią przystąpić do dzieł obszerniejszych.
Staraliśmy się podać najważniejsze twierdzenia i to o ile możności z dowodami. Kilka jednak twierdzeń wypowiedzieliśmy bez uzasadnienia; uważaliśmy bowiem, że metody dowodów tych twierdzeń są za trudne do opanowania we wstępnym studium.
Konieczną jest rzeczą, aby czytelnik przerobił większą liczbę zadań (*). W naszej książce ze względu na brak miejsca mogliśmy umieścić niewiele tylko zadań. Drugi tom poświęcony rachunkowi całkowemu i zastosowaniom jest w druku.
Miło nam jest podziękować p. H. Auerbachowi za pomoc, której użyczył przy pisaniu tej książki.
Autor.
Lwów, dn. 30 stycznia 1929 r.
(*) Polecić możemy np. zbiór zadań z rachunku różniczkowego i całkowego Dr. Nikliborca i Dr. Steinhausa, który wkrótce ukaże się nakładem Ossolineum.

Spis treści tomu I [PDF] 

Przedmowa
Wstęp
ROZDZIAŁ I.
Teoria ciągów.
    1. Definicja ciągu
    2. Ciągi monotoniczne
    3. Ciągi ograniczone
    4. Działania na ciągach
    5. Granica ciągu monotonicznego
    6. Ogólna definicja granicy ciągu
    7. Pewne kryterium zbieżności
    8. Działania na ciągach zbieżnych
    9. Ciągi rozbieżne do ±∞
    10 Twierdzenia o ciągach rozbieżnych do ±∞
    l1*. Odcinki ciągu
    12*. Ciągi różniące się tylko porządkiem wyrazów .
    l3*. Pojęcie przybliżenia
    14*. Definicja granicy
    15*. Zbieżność ciągów o równych wyrazach
    16*. Niezależność granicy od porządku wyrazów
    17*, Zbieżność ciągów częściowych
    18*. Granica ciągu o wyrazach nieujemnych
    19*. Granica sumy i różnicy ciągów
    20* Granica iloczynu ciągów
    21*. Granica iloczynu ciągu przez liczbę
    22*. Granica ilorazu ciągów
    23*. Zbieżność ciągów monotonicznych i ograniczonych
    24*. Warunek Cauchy'ego
    25*. Ograniczoność ciągów zbieżnych
    26*. Zbieżność ciągu, zawartego między dwoma innymi
    27. Wyznaczenie niektórych granic
    28. Liczba e = 2,71828...
ROZDZIAŁ II.
Funkcje jednej zmiennej.
    1. Przykłady funkcji. Pojęcie funkcji
    2. Oznaczenia
    3. Ścisła definicja pojęcia funkcji
    4. Różne rodzaje określenia funkcji
    5. Sposoby przedstawiania funkcji. Tablice
    6. Wykresy
    7. Funkcje ograniczone. Funkcje monotoniczne
ROZDZIAŁ III.
Granica funkcji.
    1. Definicja granicy funkcji
    2. Działania na granicach
    3. Warunek istnienia granicy
    4. Granica jednostronna
    5. Granice niewłaściwe
    6. Wniosek z istnienia granicy różnej od zera
    7. Obliczenie niektórych granic
ROZDZIAŁ IV.
Ciągłość funkcji.
    1. Definicja
    2. Warunek konieczny i dostateczny dla ciągłości funkcji
    3. Interpretacja geometryczna
    4. Działania na funkcjach ciągłych
    6. Definicja jednostajnej ciągłości
    7. Interpretacja geometryczna
    8. Ciągłość funkcji jednostajnie ciągłych
    9. Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych w przedziale zamkniętym
    10. Definicja funkcji złożonej
    l1. Ciągłość funkcji złożonej
    12. Definicja funkcji odwrotnej
    13. Interpretacja geometryczna
    14. Ciągłość funkcji odwrotnej
    15. Funkcja y = xn
    16. Funkcja y = an, a > 0
    17. Funkcja g = loga x, a > 0, a ≠ l
    18. Funkcje trygonometryczne
    19. Funkcje cyklometryczne
ROZDZIAŁ V.
Pochodna funkcji.
    1. Definicja pochodnej
    2. Pochodne jednostronne
    3. Istnienie pochodnej, a ciągłość
    4. Pochodna jako funkcja
    5. Interpretacje pochodnej w geometrii i fizyce
    6. Funkcje ciągłe nie posiadające pochodnej (przykłady)
    7. Pochodna funkcji stałej jest zerem
    8. Pochodna funkcji y = xn
    9. Pochodna funkcji y = a . f(x)
    10. Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu
    11. Pochodna funkcji złożonej
    12. Pochodna funkcji odwrotnej
    13. Definicja różniczki
    14. Różniczka funkcji złożonej
    15. Różniczka sumy, iloczynu i ilorazu
    16. Interpretacja geometryczna różniczki
    l7. y = xn, y′x = n xn−1 (x ≠ 0)
    18. y = loga x, y′x = 1/x loga e
    19. y = ax, y′ = ax loga, y = ex, y′ = ex ,
    20. Funkcje trygonometryczne
    21. Funkcje cyklometryczne
    22. Pochodna logarytmiczna
    23. Pochodne wyższych rzędów
    24. Formuła Leibnitza
    25. Funkcje dane przedstawieniem parametrycznem
    26. Różniczki wyższych rzędów
         Zadania
ROZDZIAŁ VI.
Twierdzenia Rolle'a. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora.
    1. Twierdzenie o wartości średniej
    2. Twierdzenie Rolle'a
    3. Dowód twierdzenia Rolle'a
    4. Dowód twierdzenia o wartości średniej
    5. Wnioski z twierdzenia o wartości średniej
    6. Pochodna funkcji złożonej
    7. Wzór Taylora
    8. Dowód wzoru Taylora
    9. Wypukłość
ROZDZIAŁ VII.
Maxima i minima; punkty przegięcia.
    1. Definicja extremum
    2. Warunek konieczny dla istnienia extremum
    3. Warunek wystarczający dla istnienia extremum
    4. Ogólniejszy warunek wystarczający
    5. Punkt przegięcia
    6. Extrema funkcji przedstawionych parametrycznie
         Zadania
    Symbole nieoznaczone: 0/0, ∞ / ∞
    Symbole nieoznaczone: 0·∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00
         Zadania
ROZDZIAŁ VIII.
Szeregi.
    1. Definicja szeregu. Szeregi zbieżne
    2. Konieczny warunek zbieżności
    3. Szeregi ograniczone
    5. Szeregi bezwzględnie zbieżne
    6. Niezależność sumy od porządku wyrazów
    7. Szeregi warunkowo zbieżne
    8. Warunek konieczny i dostateczny dla zbieżności szeregu
    9. Porównywanie szeregów
    10. Kryterjum Cauchy'ego
    11. Kryterjum d'Alemberta
    12. Definicja zbieżności ciągu funkcji
    13 Zbieżność jednostajna
    14. Działania na jednostajnie zbieżnych ciągach funkcji. Warunek konieczny i wystarczający jednostajnej zbieżności
    15. Warunek wystarczający dla ciągłości granicy
    16. Jednostajna zbieżność szeregów
    17. Zbieżność bezwzględnie jednostajna szeregów funkcji
    18. Różniczkowanie ciągów i szeregów
    19. Szeregi potęgowe
    20. Promień zbieżności szeregu potęgowego
    21. Ciągłość sumy szeregu potęgowego
    22. Wyznaczanie promienia zbieżności
    23. Różniczkowanie szeregu potęgowego
    24. Szereg Taylora
         Zadania
ROZDZIAŁ IX.
Funkcje dwu zmiennych.
    1. Zbiory płaskie. Obszary
    2. Punkty brzegowe. Obszary domknięte
    3. Obszary określone przez nierówności
    4. Funkcje dwu zmiennych
    5. Geometryczne przedstawienie funkcji dwu zmiennych
    6. Warstwice
    7. Definicja granicy
    8. Twierdzenia o granicach
    9. Ciągłość. Ciągłość jednostajna
    10 Definicja pochodnych cząstkowych
    11. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
    12. Twierdzenie o przemienności różniczkowania
    13. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
    14. Funkcje złożone
    15. Pochodne cząstkowe funkcji złożonych
    16. Definicja funkcji uwikłanej
    17. Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej
    18. Pochodne funkcji uwikłanej
    19. Maksima i minima funkcji uwikłanych
         Zadania
ROZDZIAŁ X.
Wzór i szereg Taylora. Maxima i minima. Różniczki funkcji dwu zmiennych.
    1. Wzór Taylora
    2. Szereg Taylora i Maclaurine'a
    3. Definicja extremum
    4. Warunki konieczne dla istnienia extremum
    5. Warunek dostateczny dla istnienia extremum.
         Zadania
    6. Definicja różniczki
    7. Różniczka funkcji złożonej
    8. 9. Zastosowania do funkcji jednej zmiennej
    10. Różniczki cząstkowe
    11. Różniczka a przyrost funkcji.
         Zadania
    12. Różniczki wyższych rzędów
ROZDZIAŁ XI.
Funkcje wielu zmiennych.
    1. Obszary
    2. Funkcje wielu zmiennych
    3. Granica, ciągłość
    4. Pochodne cząstkowe
    5. Wzór i szereg Tylore'a

Spis treści tomu II [PDF] 

ROZDZIAŁ I.
Całka nieokreślona. Metody całkowania.
    1. Funkcja pierwotna
    2. Zasadnicze wzory
    3. Niektóre własności całki nieokreślonej
    4. Całkowanie przez podstawienie
    5. Całkowanie przez części
    6. Całki funkcji elementarnych
    7. Wzory redukcyjne
ROZDZIAŁ II.
Całkowanie funkcji wymiernych.
    1. Rozkład wielomianu na czynniki
    2. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
    3. Całka funkcji wymiernych
Rozdział III.
Całkowanie funkcji algebraicznych.
    2. Całki dwumienne
    3. Całkowanie funkcji wymiernych R(x,y)
    4. Niektóre szczególne przypadki całek funkcji wymiernych R(x,y) [y = √(ax2+bx+c)]
    5. Uwagi tyczące się przekształcenia całki ∫R(x,y)dx
ROZDZIAŁ IV.
Całki funkcji wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych.
    1. Uwagi ogólne
    2. Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych
    3. Całki funkcji trygonometrycznych
    4. Całki funkcji cyklometrycznych
    5. Przykłady funkcji niecałkowalnych elementarnie
ROZDZIAŁ V.
Całka określona (pojedyncza).
    1. Definicja całki określonej
    2. Niektóre własności całek określonych
    3. Całkowalność funkcji ciągłej
    4. Niektóre warunki całkowalności
    5. Rozkładanie przedziału całkowania
    6. Niektóre nierówności dla całek określonych
    7. Granice całki
    8. Funkcje górnej (dolnej) granicy całki
    9. Całka określona a funkcja pierwotna
    10. Twierdzenie o wartości średniej (całkowe)
ROZDZIAŁ VI.
Przekształcanie całek określonych. Całkowanie ciągów i szeregów.
    1. Zamiana zmiennych w całkach określonych
    2. Całkowanie przez części
    3. Całkowanie ciągów i szeregów
    4. Całkowanie szeregów potęgowych
    5. Całkowanie i różniczkowanie według parametru
ROZDZIAŁ VII.
Całki niewłaściwe.
    1. Całka funkcji nieokreślonej w kilku punktach
    2. Całka funkcji nieograniczonej
    3. Całki w przedziale nieskończonym
    4. Kryterium istnienia całki niewłaściwej
    5. Zastosowanie do szeregów
    6. Całki niewłaściwe jednostajnie zbieżne
ROZDZIAŁ VIII.
Zastosowania rachunku całkowego.
    1. Obliczanie pola
    2. Obliczanie długości łuku
    3. Objętość bryły obrotowej
    4. Pole powierzchni obrotowej
ROZDZIAŁ IX.
Całka określona podwójna. Warunki całkowalności.
    1. Definicja całki określonej podwójnej w prostokącie
    2. Warunki całkowalności
    3. Całka podwójna jako całka iterowana
    4. Całka podwójna po obszarze
    5. Warunki całkowalności. Twierdzenie o średniej wartości
    6. Całka podwójna po obszarach, jako całka iterowana
ROZDZIAŁ X.
Całka krzywolinijna.
    1. Łuk pojedynczy
    2. Całka krzywolinijna po łuku pojedynczym
    3. Całka krzywolinijna po linii krzywej
    4. Praca jako całka krzywolinijna
    5. Krzywa zamknięta
    6. Całka krzywolinijna po krzywej zamkniętej
    6 a. Całki krzywolinijne po krzywych zamkniętych płaskich
    7. Twierdzenie Greena
    8. Zastosowania twierdzenia Greena
ROZDZIAŁ XI.
Odwzorowania ciągłe. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych.
    1. Odwzorowania
    2. Odwzorowania ciągłe. Odwzorowania jedno-jednoznaczne
    3. Wyznacznik funkcyjny (jakobjan)
    4. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
ROZDZIAŁ XII.
Całka wielokrotna.
    1. Całka potrójna
    2. Całka wielokrotna
    3. Warunki całkowalności
    4. Całka wielokrotna, jako całka iterowana
    5. Całka wielokrotna po obszarze
    6. Całka wielokrotna po obszarach, jako całka iterowana

Podziękowania

Serdecznie dziękujemy Pani prof. dr hab. med. Alinie Filipowicz-Banachowej za wyrażenie zgody na umieszczenie na naszej stronie kopii wszystkich książek Prof. Banacha.

Będziemy wdzięczni za wszelkie uwagi i komentarze dotyczące tej strony.

Adam Miranowicz i Emilia Jakimowicz


File translated from TEX by TTHgold, version 4.00.
On 21 Jan 2014, 16:46.